g)$1-x-2 { x }^{ 2 } \geq 0$: Exercício livro Cálculo A; Seção 1.6 página 10

Resolução livro Cálculo A de Diva Flemming, Seção 1.6 página 10

1.Determinar todos os intervalos de números que satisfazem as desigualdades abaixo. Fazer a representação gráfica.

g)$1-x-2 { x  }^{ 2  }   \geq  0$

$$1-x-2x^2\ge 0$$

Multiplique a desigualdade por -1 para transformar o coeficiente da potência mais elevada em $1-x-2x^2$ positivo. Uma vez que $-1$ é $<0$, a direção da desigualdade é alterada.

$$-1+x+2x^2\le 0$$

Para resolver a desigualdade, fatorize o lado esquerdo. O polinómio quadrático pode ser fatorizado através da transformação $a{x}^2+bx+c=a\left(x-x_1\right)\left(x-x_2\right)$, em que $x_1$ e $x_2$ são as soluções da equação quadrática $a{x}^2+bx+c=0$.

$$-1+x+2x^2=0$$

Todas as equações com o formato $a{x}^2+bx+c=0$ podem ser resolvidas com a fórmula quadrática: $\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$. Substitua $2$ por $a$, $1$ por $b$ e $-1$ por $c$ na fórmula quadrática.

$$x=\frac{-1\pm \sqrt{1^2-4\times 2\left(-1\right)}}{2\times 2}$$

Efetue os cálculos.

$$x=\frac{-1\pm 3}{4}$$

Resolver equação $x=\frac{-1\pm 3}{4}$ quando $\pm$ é a adição e quando $\pm$ é menos.

$$x=\frac{1}{2}$$$$x=-1$$

Rescreva a desigualdade ao utilizar as soluções obtidas.

$$2\left(x-\frac{1}{2}\right)\left(x+1\right)\le 0$$

Para o produto a ser $\le 0$, um dos valores $x-\frac{1}{2}$ e $x+1$ tem de ser $\ge 0$ e a outra tem de ser $\le 0$. Consideremos o caso quando $x-\frac{1}{2}$ é $\ge 0$ e $x+1$ é $\le 0$.

$$x-\frac{1}{2}\ge 0$$$$x+1\le 0$$

Isto é falso para qualquer valor $x$.

$$x\in \varnothing$$

Consideremos o caso quando $x+1$ é $\ge 0$ e $x-\frac{1}{2}$ é $\le 0$.

$$x+1\ge 0$$$$x-\frac{1}{2}\le 0$$

A solução que satisfaz ambas as desigualdades é $x\in \left[-1,\frac{1}{2}\right]$.

$$x\in \left[\begin{array}{c}-1,\frac{1}{2}\end{array}\right]$$

A solução final é a União das soluções obtidas.

$$x\in \left[\begin{array}{c}-1,\frac{1}{2}\end{array}\right]$$

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