f) x^2 -3x+2>0: : Exercício livro Cálculo A; Seção 1.6 página 10

Resolução livro Cálculo A de Diva Flemming, Seção 1.6 página 10

1.Determinar todos os intervalos de números que satisfazem as desigualdades abaixo. Fazer a representação gráfica.

f)  ${ x  }^{ 2  }  -3x+2 >  0 $

Para resolver a desigualdade, fatorize o lado esquerdo. O polinómio quadrático pode ser fatorizado através da transformação $a{x}^2+bx+c=a\left(x-x_1\right)\left(x-x_2\right)$, em que $x_1$ e $x_2$ são as soluções da equação quadrática $a{x}^2+bx+c=0$.

$$x^2-3x+2=0$$

Todas as equações com o formato $a{x}^2+bx+c=0$ podem ser resolvidas com a fórmula quadrática: $\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$. Substitua $1$ por $a$, $-3$ por $b$ e $2$ por $c$ na fórmula quadrática.

$$x=\frac{-\left(-3\right)\pm \sqrt{{\left(-3\right)}^2-4\times 1\times 2}}{2}$$

Efetue os cálculos.

$$x=\frac{3\pm 1}{2}$$

Resolver equação $x=\frac{3\pm 1}{2}$ quando $\pm$ é a adição e quando $\pm$ é menos.

$$x=2$$$$x=1$$

Rescreva a desigualdade ao utilizar as soluções obtidas.

$$\left(x-2\right)\left(x-1\right)>0$$

Para o produto seja positivo, $x-2$ e $x-1$ têm de ser negativo ou ambos positivos. Consideremos o caso em que $x-2$ e $x-1$ são ambos negativos.

$$x-2<0$$$$x-1<0$$

A solução que satisfaz ambas as desigualdades é $x<1$.

$$x<1$$

Consideremos o caso em que $x-1$ e $x-2$ são ambos positivos.

$$x-1>0$$$$x-2>0$$

A solução que satisfaz ambas as desigualdades é $x>2$.

$$x>2$$

A solução final é a União das soluções obtidas.

$$x<1\text{; }x>2$$